ハミング符号の定義

${\bf F}_2^m$のすべての非零ベクトルを行ベクトルとして並べた行列をHとおく. $\sharp({\bf F}_2^m\setminus\{{\mathbf 0}\})=2^m-1$であることから, $H\in M((2^m-1)\times m,{\bf F}_2)$となる. 例えば, m=3のときには,

$${\bf F}_2^3\setminus \{{\mathbf 0}\}= \left\{ \begin{matrix} ... ...0,0,1)&(1,1,0)\\ (1,0,1)&(0,1,1)&(1,1,1) \end{matrix}\right\}$$

であるから,

$$H= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

となる.

このHを使って,

$$C:=\left\{\left. {\mathbf y}\in{\bf F}_2^{2^m-1} \right\vert {\mathbf y}H={\mathbf 0}\right\} \subset {\bf F}_2^{2^m-1}$$

と定義される符号のことをハミング符号(Hamming code)という. $C=\operatorname{Ker}\left(T_H : {\bf F}_2^{2^m-1}\to{\bf F}_2^m\right)$より, 線形写像の次元公式を使えば,

$$\dim_{{\bf F}_2} C=\dim \operatorname{Ker}T_H =\dim {\bf F}_2^{2^m-1} - \operatorname{rank}H=2^{m-1}-m-1$$

であることが分かる.