巡回符号の生成行列

(n,k)-巡回符号 $C\subset{\bf F}_2^n$の生成行列とは, その定義から, ${\bf F}_2^k$から $C\subset{\bf F}_2^n$への同型写像の表現行列のことであるが, それは次の図式から求められる.

$$\begin{CD} @. {\bf F}_2[X]/(X^n-1) @>{\cong}>> {\bf F}_2^n \... ...m^{n-1}_{i=0}b_iX^i @>>> (b_0,b_1,\dots,b_{n-1}) \\ \end{CD}$$

この図式をもとに,

$$(b_0,b_1,\dots,b_{n-1})=(a_0,a_1,\dots,a_{k-1})G$$

なる(k,n)型行列Gを求めればよい.

$g(X)=g_0+g_1X+\cdots+g_{n-k}X^{n-k}$と表すと,
$$\begin{align*}(b_0,b_1,\dots,b_{n-1}) \begin{pmatrix}1\\ X\\ \vdots \\ X^{n-1}\... ... \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ X\\ \vdots \\ X^{n-1}\end{pmatrix}\end{align*}$$
となるから, これより,

$$(b_0,b_1,\dots,b_{n-1}) = (a_0,a_1,\dots,a_{k-1}) \begin{p... ...0 & \cdots & 0 &g_0 & g_1 & \cdots & g_{n-k} \\ \end{pmatrix}$$

よって, 巡回符号C=(g(X))の生成行列Gは,

$$G= \begin{pmatrix} g_0 & g_1 & g_2 & \cdots & g_{n-k} & 0 &... ...0 & \cdots & 0 &g_0 & g_1 & \cdots & g_{n-k} \\ \end{pmatrix}$$

となる.