BCH 符号

定義 3.1   nを奇数とし, Cを${\bf F}_2$上の(n,k)-巡回符号とするとき,

1.

C: 設計距離$\delta$のBCH符号 $\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$ $C=(g(X))\subset {\bf F}_2[X]/(X^n-1)$

ただし, g(X)は, $\beta^l$, $\beta^{l+1}$, $\dots$, $\beta^{l+\delta-2}$, ($\beta$は1の原始n乗根, $l\ge 1$) たちの最小多項式の最小公倍多項式,

2.

C: 狭義のBCH符号 $\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$ C: l=1のBCH符号,

3.

C: 原始的BCH符号 $\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$ C: BCH符号で, n=2^m-1 (すなわち, $\langle \beta \rangle={\bf F}_{2^{m}}^{\times}$).

BCH符号について, 次のことが成立する.

命題 3.2   $d(C)\ge\delta$