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Reed-Solomon code の代数幾何学的解釈


\begin{displaymath}{\bf P}^1({\bf F}_q) := \{(x,y)\in {\bf F}_q^2-\{(0,0)\}\}/\s...
...rrow
\exists \lambda\in{\bf F}_q-\{0\}, (x',y')=\lambda (x,y)\end{displaymath}

(x,y)の同値類を(x:y)と書くことにすると,

\begin{displaymath}{\bf F}_q\ni x \longmapsto (x:1)\in{\bf P}^1({\bf F}_q) \end{displaymath}

とすることによって, ${\bf F}_q$ ${\bf P}^1({\bf F}_q)$の部分集合となり,

\begin{displaymath}{\bf P}^1({\bf F}_q)={\bf F}_q\cup \{(1:0)\} \end{displaymath}

となる. したがって, ${\bf P}^1({\bf F}_q)$は, ${\bf F}_q$に無限遠点を付け加えてコンパクト化したようなものと思うことができる(複素平面のコンパクト化のアナロジー). この(1:0)を$\infty$とかくことにする.


\begin{align*}P_1, P_2, \cdots , &P_n , Q \in{\bf P}^1({\bf F}_q),
\quad P_i\n...
...粍焚爾龍砲鮖つ${\bf P}^1$ 上の有理関数}\}
= {\bf F}_q[x]_{<k} \\
\end{align*}

\begin{displaymath}\begin{CD}
\phi : L((k-1)\infty)\ni f @>>>
(f(P_1), f(P_2), \cdots , f(P_n)) \in{\bf F}_q^n \\
\end{CD}\end{displaymath}

こうして幾何学的なものとしてとらえてみると, 符号を作るという観点のみ からは, Pj が原始q-1乗根を$\beta$として $(\beta^j:1)$で与えられる必要はなく, Pj=(x:1), $x\in{\bf F}_q$であればよい といえる. (最小距離や復号の計算量は別問題)



Mitsuru Kawazoe
2001-11-14