一般論

【クラス分けに関するルール】

(1)

各人は(男、女ともに)あるクラスに割り当てられる。

(2)

各人の所属するクラスは、ある規則にしたがって その両親のクラスから決まる。

【婚姻型に関するルール】

(A)

各人に対応する婚姻型が唯一つ存在。

(B)

各人に対応している婚姻型は各人の性とその両親が 結婚した婚姻型から決まっている。

(C)

すべての男は、母の兄弟の娘と結婚できる。 (「交叉いとこ婚」)

(注：各クラスに対して婚姻型が一つだけ対応するとは限らない)

【観察】

$$M_1, M_2,\dots,M_n : \qquad n \text{個の婚姻型があるとする}$$

ルール(2)(A)(B)より、

$\forall i$, M_i型の結婚から生まれた息子の婚姻型は一つに決まる。

同様に、

$\forall i$, M_i型の結婚から生まれた娘の婚姻型は一つに決まる。

両親の婚姻型に息子の婚姻型を対応させる対応f、

両親の婚姻型に娘の婚姻型を対応させる対応g、

は関数となる。

$$\begin{align*}& \{ M_i \} \overset{f}{\longrightarrow}\{ M_i \} \\ & \{ M_i \} \overset{g}{\longrightarrow}\{ M_i \} \end{align*}$$

fとgは全単射でなければならない。 (そうでないと消滅する婚姻型があったり、何世代か後にだれも結婚できなくなったりする。)

したがって、f, gはM_iたちを並べ替えるルールに他ならない。 (=M_iたちの"置換")

【ルール(C)について】

$$\text{男Aの母の兄弟の娘Bが結婚できる} \Longleftrightarrow \text{Aの婚姻型}=\text{Bの婚姻型}$$

$$(C) \Longleftrightarrow \forall i, f(g(M_i)=g(f(M_i))$$

すなわち、fとgは"交換可能"。

p.396の例：

血縁的に{A,B}, {C, D}という2つの集団に完全に分かれている。

(これは好ましくない。)

社会が可約 $\overset{def}{\Longleftrightarrow}$血縁的に交わりのない複数の集団に分解

社会が既約 $\overset{def}{\Longleftrightarrow}$血縁的に交わりのない複数の集団には分解しない

【群論用語による問題整理】

息子、娘の婚姻型決定規則＝n個の要素をもつ集合への置換群の作用

交叉いとこ婚の許可＝「置換fとgの生成する置換群はアーベル群である」

社会が既約＝置換群の作用が推移的