Reed-Solomon符号

定義 4.1   nを奇数, Cを ${\bf F}_2^m$上の(n,k)-符号とするとき, C: Reed-Solomon 符号(RS符号) $\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}$l=1の原始的BCH符号

$\langle \beta \rangle={\bf F}_{2^{m}}^{\times}$とすると, $\beta$, $\beta^2$, ..., $\beta^{\delta-1}$の ${\bf F}_2^m$上の最小多項式はそれぞれ $X-\beta$, $X-\beta^2$, ..., $X-\beta^{\delta-1}$となる。

CをRS符号とすると, 定義から, 上のような$\beta$を用いて,
$$\begin{align*}C&=(g(X))\subset {\bf F}_{2^{m}}[X]/(X^n-1) \\ g(X)&:=(X-\beta)(X-\beta^2)\dots(X-\beta^{\delta-1}) \end{align*}$$
と表せる.

命題 4.2   Cは, $(n,n-\delta+1,\delta)$-符号.